מבוא לחישוב סטטי: חישוב מהלכי כוחות

"פז, את הריאקציות אני כבר יודע לחשב. אבל ברגע שמבקשים ממני לשרטט מהלך גזירה ומומנטים, אני נתקע."

את המשפט הזה אני שומע כמעט בכל סמסטר. וזה הגיוני: מהלכי כוחות זה השלב שבו הסטטיקה מפסיקה להיות "שלוש משוואות" ומתחילה להיות הנדסה. מכאן יודעים איפה המומנט הכי גדול, כמה ברזל צריך בקורה, ואיפה החישוקים צריכים להיות צפופים.

החדשות הטובות? יש לזה שיטה. תמיד אותם שלבים, באותו סדר:

1. ריכוז עומסים מפורסים לכוחות שקולים.
2. חישוב הריאקציות בסמכים.
3. מהלך כוחות צירים (N).
4. מהלך כוחות גזירה (V).
5. מהלך מומנטים (M).

במאמר הזה אני עובר איתך על כל שלב, עם הסבר ודוגמאות קטנות. בסוף נפתור יחד קורה על שני סמכים עם עומס מפורס חלקי ועומס נקודתי, מההתחלה ועד הסוף.

אם עוד לא סגרת את היסודות (סוגי סמכים, סוגי עומסים, משוואות שיווי משקל), כדאי לעבור קודם על המאמר מבוא לסטטיקה. זה המשך ישיר שלו.

לפני שמתחילים: מה זה "מהלך כוחות"?

כשקורה עומדת בשיווי משקל, היא לא רק "נשענת" על הסמכים. בתוך החומר עצמו עוברים כוחות. אם נחתוך את הקורה בדמיון בנקודה כלשהי, נגלה שבחתך פועלים שלושה כוחות פנימיים:

• כוח צירי (N): כוח לאורך הציר של האלמנט. מושך (מתיחה) או דוחף (לחיצה).
• כוח גזירה (V): כוח ניצב לציר, שמנסה "להחליק" חלק אחד של הקורה ביחס לשני.
• מומנט כפיפה (M): מה שמכופף את הקורה. ממנו מחשבים את הברזל.

מהלך כוחות הוא גרף שמראה איך כל אחד מהכוחות האלה משתנה לאורך הקורה. ציר אופקי = המיקום לאורך הקורה, וציר אנכי = הערך של הכוח באותו מקום.

כללי הסימנים

כדי שכולנו נדבר באותה שפה, צריך לקבוע מה חיובי ומה שלילי. אני עובד ככה:

• N חיובי = מתיחה. הכוח "מושך" את החתך החוצה.
• V חיובי = בחלק השמאלי של החתך, סכום הכוחות כלפי מעלה. במילים אחרות: כוח כלפי מעלה משמאל לחתך מעלה את הגזירה.
• M חיובי = הקורה מתכופפת כמו חיוך. הסיבים התחתונים במתיחה. זה המצב הרגיל באמצע קורה פשוטה.

טיפ מהכיתה: את מהלך המומנטים אני משרטט עם החיובי מתחת לציר, בצד הסיבים המתוחים. ככה הגרף "יושב" בדיוק במקום שבו צריך את הברזל. יש מרצים שמשרטטים הפוך, וזה בסדר, כל עוד אתה עקבי ומסמן + ו-−.

שלב 1: ריכוז עומסים מפורסים

לפני שמחשבים ריאקציות, מחליפים כל עומס מפורס בכוח אחד שקול. הכלל פשוט:

• גודל השקול = השטח של דיאגרמת העומס.
• מיקום השקול = מרכז הכובד של אותו שטח.

עומס שווה לכל אורך הקורה

קורה באורך L עם עומס q לכל האורך.

• גודל: Q = q · L
• מיקום: באמצע הקורה, L/2.

דוגמה: q = 5 kN/m על קורה של 6 מ'. השקול: Q = 5 · 6 = 30 kN, במרחק 3 מ' מהקצה.

עומס שווה חלקי

זה המקרה שהכי הרבה סטודנטים מתבלבלים בו. העומס פועל רק על חלק מהקורה, באורך a.

• גודל: Q = q · a, כלומר רק על האורך שבו יש עומס.
• מיקום: באמצע הקטע הטעון, לא באמצע הקורה.

דוגמה: קורה של 8 מ', ועליה q = 10 kN/m רק על 4 המטרים הראשונים. השקול: Q = 10 · 4 = 40 kN, במרחק 2 מ' מהקצה השמאלי.

עומס משולשי

• גודל: Q = q₀ · L / 2
• מיקום: במרחק L/3 מהצד הגבוה.

דוגמה: עומס משולשי שעולה מאפס ל-q₀ = 6 kN/m לאורך 3 מ'. השקול: Q = 6 · 3 / 2 = 9 kN, במרחק 1 מ' מהצד הגבוה.

עומס טרפזי

אין צורך בנוסחה חדשה. מפרקים את הטרפז למלבן + משולש, ומרכזים כל אחד בנפרד.

דוגמה: עומס שעולה מ-4 kN/m ל-10 kN/m לאורך 3 מ'.

• המלבן: 4 · 3 = 12 kN, באמצע, 1.5 מ' מהקצה.
• המשולש: (10 − 4) · 3 / 2 = 9 kN, במרחק 1 מ' מהצד הגבוה.
• סך הכול: 21 kN, בשני כוחות נפרדים.

חשוב מאוד: את השקול משתמשים בו רק לחישוב הריאקציות, או לחישוב כוחות בחתך כשלוקחים בחשבון רק את החלק של העומס שנמצא בצד אחד של החתך. את מהלך הגזירה והמומנטים משרטטים לפי העומס המקורי, המפורס. מי ששוכח את זה מקבל מהלך מומנטים עם "שבירה" במקום פרבולה.

שלב 2: חישוב הריאקציות

אחרי שריכזנו את העומסים, מחשבים את הכוחות שהסמכים מפעילים על הקורה. בקורה על שני סמכים, פרקי ב-A ונייד ב-B, יש שלוש ריאקציות: HA, RA ו-RB. ויש לנו בדיוק שלוש משוואות:

1. ΣFx = 0: ממנה יוצאת הריאקציה האופקית HA.
2. ΣMA = 0: מומנטים סביב A. הריאקציות ב-A לא נכנסות (הזרוע שלהן אפס), ולכן נשאר נעלם אחד: RB.
3. ΣFy = 0: ממנה יוצאת RA.

ובסוף, תמיד בדיקה: משוואת מומנטים סביב B. אם יצא אפס, אתה מסודר.

דוגמה קצרה: קורה של 5 מ', עומס נקודתי P = 20 kN במרחק 2 מ' מ-A.

• ΣMA = 0: 20 · 2 − RB · 5 = 0, ולכן RB = 8 kN.
• ΣFy = 0: RA = 20 − 8 = 12 kN.
• בדיקה סביב B: 12 · 5 − 20 · 3 = 60 − 60 = 0 ✓

ושים לב לאינטואיציה: העומס קרוב יותר ל-A, ולכן A סוחב יותר. אם יצא לך הפוך, משהו לא בסדר.

טיפ מהכיתה: כוח באלכסון? קודם מפרקים אותו לרכיב אופקי ולרכיב אנכי. הרכיב האופקי נכנס ל-ΣFx (והוא זה שייצור לנו כוח צירי), והרכיב האנכי נכנס ל-ΣFy ולמומנטים.

שלב 3: מהלך כוחות צירים (N)

מהלך הכוחות הצירים מראה את המתיחה או הלחיצה לאורך הקורה. בקורה שיש עליה רק עומסים אנכיים, אין כוחות צירים בכלל, והמהלך הוא פשוט קו אפס. הוא מתחיל להיות מעניין כשיש כוח אופקי או כוח באלכסון.

איך משרטטים:

• הולכים משמאל לימין, ומתחילים מהריאקציה האופקית בסמך A.
• בכל מקום שיש כוח אופקי, המהלך קופץ בגודל הכוח.
• בין הכוחות, המהלך קבוע.
• בסוף הקורה המהלך חוזר לאפס (או לריאקציה האופקית בסמך האחרון, אם יש).

דוגמה: כוח אופקי של 15 kN שמושך ימינה בנקודה C. הסמך הפרקי A מחזיק אותו עם HA = 15 kN שמאלה. בין A ל-C, הקורה נמתחת בין שני הכוחות, ולכן N = +15 kN. מימין ל-C אין כוח אופקי, ו-N = 0.

שלב 4: מהלך כוחות גזירה (V)

כאן מתחיל הכיף. מהלך הגזירה הוא בעצם "סיפור" של הכוחות האנכיים, משמאל לימין. מתחילים מאפס, והולכים לאורך הקורה:

• כוח נקודתי כלפי מעלה (למשל ריאקציה) ← המהלך קופץ למעלה בגודל הכוח.
• כוח נקודתי כלפי מטה ← המהלך קופץ למטה בגודל הכוח.
• קטע עם עומס שווה q ← המהלך יורד בקו ישר משופע. השיפוע הוא q, כלומר בכל מטר הוא יורד ב-q.
• קטע בלי עומס ← המהלך קבוע, קו אופקי.
• בסוף הקורה המהלך חייב לחזור לאפס. זו הבדיקה שלך.

דוגמה: נחזור לקורה של 5 מ' עם P = 20 kN במרחק 2 מ' מ-A, ו-RA = 12 kN, RB = 8 kN.

• ב-A: קפיצה למעלה ל-12+ kN.
• בין A ל-P: אין עומס, המהלך קבוע על 12+.
• ב-P: קפיצה למטה ב-20, ל-8− kN.
• בין P ל-B: קבוע על 8−.
• ב-B: קפיצה למעלה ב-8, וחוזרים ל-0 ✓

טעות נפוצה: לשכוח את הקפיצה בסמך. הריאקציה היא כוח לכל דבר, והמהלך קופץ בה בדיוק כמו בעומס נקודתי.

שלב 5: מהלך מומנטים (M)

את מהלך המומנטים בונים מתוך מהלך הגזירה. זה הקשר הכי חשוב בכל הנושא:

השינוי במומנט בין שתי נקודות = השטח של מהלך הגזירה ביניהן.

ומכאן כל כללי האצבע:

• בסמך פשוט (פרקי או נייד) ובקצה חופשי: M = 0.
• בקטע שבו הגזירה קבועה (אין עומס) ← המומנט משתנה בקו ישר.
• בקטע עם עומס שווה (הגזירה משופעת) ← המומנט הוא פרבולה.
• בנקודה שבה הגזירה חוצה את האפס ← שם נמצא המומנט המקסימלי. זו הנקודה הכי חשובה בכל התרגיל.
• בעומס נקודתי ← יש במהלך המומנטים שבירה (פינה), אבל לא קפיצה.
• במומנט מרוכז ← רק אז המומנט קופץ.

דוגמה: אותה קורה של 5 מ'.

• ב-A: M = 0.
• ב-P (2 מ' מ-A): השטח של הגזירה מ-A עד P הוא 12 · 2 = 24, ולכן M = 24 kN·m.
• ב-B: מוסיפים את השטח מ-P עד B, שהוא 8− · 3 = 24−, ולכן M = 24 − 24 = 0 ✓

הגזירה חוצה את האפס בדיוק מתחת לעומס, ולכן המומנט המקסימלי נמצא שם: Mmax = 24 kN·m. אפשר לבדוק עם הנוסחה המקוצרת לעומס נקודתי: P · a · b / L = 20 · 2 · 3 / 5 = 24 ✓

הקשר בין עומס, גזירה ומומנט

מה יש בקטע	מהלך הגזירה V	מהלך המומנטים M
אין עומס	קבוע (קו אופקי)	קו ישר משופע
עומס שווה q	קו ישר משופע (יורד ב-q לכל מטר)	פרבולה
עומס משולשי	פרבולה	עקומה מדרגה שלישית
עומס נקודתי P	קפיצה בגודל P	שבירה (פינה)
מומנט מרוכז	ללא שינוי	קפיצה בגודל המומנט
נקודה שבה V = 0	חוצה את הציר	מומנט מקסימלי

את הנוסחאות המקוצרות למומנט המקסימלי במקרים הנפוצים אני מסביר בסרטון הזה. הן חוסכות המון זמן במבחן, וגם עוזרות לבדוק את עצמך:

דוגמה פתורה מלאה: קורה על שני סמכים

עכשיו נחבר את כל השלבים. קורה פשוטה באורך 8 מ': סמך פרקי A משמאל, וסמך נייד B מימין. על הקורה פועלים:

• עומס שווה חלקי: q = 10 kN/m, על 4 המטרים הראשונים (מ-A ועד נקודה D).
• עומס נקודתי באלכסון: P = 25 kN בנקודה C, במרחק 6 מ' מ-A. הרכיבים שלו: 20 kN כלפי מטה ו-15 kN אופקית ימינה.

שלב 1: ריכוז העומס המפורס

Q = q · a = 10 · 4 = 40 kN, באמצע הקטע הטעון, כלומר 2 מ' מ-A.

שלב 2: הריאקציות

ΣFx = 0: הרכיב האופקי של P מושך ימינה ב-15 kN. רק הסמך הפרקי A יכול להחזיק כוח אופקי, ולכן:

HA = 15 kN שמאלה

ΣMA = 0 (מומנטים סביב A, עם כיוון השעון חיובי):

40 · 2 + 20 · 6 − RB · 8 = 0

80 + 120 = 8 · RB

RB = 25 kN

ΣFy = 0:

RA + RB − 40 − 20 = 0

RA = 60 − 25 = 35 kN

בדיקה, מומנטים סביב B:

35 · 8 − 40 · 6 − 20 · 2 = 280 − 240 − 40 = 0 ✓

שלב 3: מהלך כוחות צירים

• מ-A עד C: הקורה נמתחת בין HA (שמאלה) לבין הרכיב האופקי של P (ימינה). N = +15 kN, מתיחה.
• מ-C עד B: אין כוח אופקי. N = 0.

שלב 4: מהלך כוחות גזירה

הולכים משמאל לימין:

• ב-A: קפיצה למעלה ב-RA, ל-35+ kN.
• מ-A עד D (0 עד 4 מ'): עומס שווה של 10 kN/m, המהלך יורד בקו ישר ב-10 בכל מטר. ב-D: 35 − 10 · 4 = 5− kN.
• איפה הגזירה חוצה את האפס? 35 − 10 · x = 0, ולכן x = 3.5 מ' מ-A. שם יהיה המומנט המקסימלי.
• מ-D עד C (4 עד 6 מ'): אין עומס, המהלך קבוע על 5−.
• ב-C: קפיצה למטה ב-20 (הרכיב האנכי של P), ל-25− kN.
• מ-C עד B: קבוע על 25−.
• ב-B: קפיצה למעלה ב-RB = 25, וחוזרים ל-0 ✓

שלב 5: מהלך מומנטים

מחשבים את המומנט בנקודות המפתח, לפי השטח של מהלך הגזירה:

• ב-A: M = 0 (סמך פשוט).
• ב-x = 3.5 מ' (המקסימום): השטח של המשולש בגזירה, 35 · 3.5 / 2 = 61.25. ולכן Mmax = 61.25 kN·m.
• ב-D (4 מ'): מורידים את המשולש הקטן שמתחת לציר, 5 · 0.5 / 2 = 1.25. ולכן M = 60 kN·m.
• ב-C (6 מ'): מורידים את המלבן, 5 · 2 = 10. ולכן M = 50 kN·m.
• ב-B (8 מ'): מורידים את המלבן, 25 · 2 = 50. ולכן M = 0 ✓

הצורה של המהלך: מ-A עד D זו פרבולה (יש עומס שווה), עם השיא ב-3.5 מ'. מ-D עד C ומ-C עד B אלה קווים ישרים (אין עומס), עם שבירה ב-C, בדיוק מתחת לעומס הנקודתי.

בדיקה בדרך אחרת: המומנט ב-C מצד ימין: RB · 2 = 25 · 2 = 50 kN·m ✓ אותו ערך בדיוק.

סיכום התוצאות

גודל	ערך	איפה
HA	15 kN	סמך A
RA	35 kN	סמך A
RB	25 kN	סמך B
N מקסימלי	15+ kN (מתיחה)	בין A ל-C
V מקסימלי	35 kN	ליד סמך A
Mmax	61.25 kN·m	3.5 מ' מ-A

ומה זה אומר בשטח? המומנט המקסימלי, 61.25 kN·m, קובע את הברזל התחתון של הקורה. הגזירה הגדולה, 35 kN ליד A, קובעת את צפיפות החישוקים בקצה הזה. ככה החישוב הסטטי הופך ישר לתוכנית ברזל.

סיכום: חמשת השלבים בטבלה אחת

שלב	מה עושים	הבדיקה שלך
1. ריכוז עומסים	שקול = שטח העומס, במרכז הכובד שלו	עומס חלקי: באמצע הקטע הטעון
2. ריאקציות	ΣFx, ΣMA, ΣFy	מומנטים סביב B = 0
3. מהלך צירים N	קפיצות בכוחות אופקיים, קבוע ביניהם	חוזר לאפס בסוף
4. מהלך גזירה V	קפיצות בכוחות נקודתיים, שיפוע q בעומס שווה	חוזר לאפס בסוף
5. מהלך מומנטים M	שינוי = שטח הגזירה, מקסימום ב-V = 0	אפס בסמך פשוט ובקצה חופשי

ללמוד חישוב סטטי עד הסוף

מהלכי כוחות לא לומדים מקריאה. לומדים עם עיפרון ביד: עוד קורה, ועוד קורה, עד שאתה רואה את מהלך הגזירה בראש עוד לפני שהתחלת לחשב.

בדיוק בשביל זה כתבתי את הספר חישוב סטטי וחוזק חומרים – המדריך המלא. הוא מתחיל מהיסודות, עובר על ריאקציות, מהלכי כוחות צירים, גזירה ומומנטים בכל הסכמות הנפוצות, וממשיך לחוזק חומרים. הכל עם דוגמאות פתורות ותרגילים בסגנון המבחנים. כתבתי אותו אחרי שנים של הוראה במכללות להנדסאי בניין, מתוך השאלות שסטודנטים שואלים אותי שוב ושוב.

שאלות נפוצות

מה ההבדל בין ריאקציות למהלכי כוחות?

ריאקציות הן הכוחות שהסמכים מפעילים על הקורה, מבחוץ. מהלכי כוחות מראים מה קורה בתוך הקורה, בכל חתך לאורכה. קודם מחשבים ריאקציות, ורק אחר כך אפשר לשרטט מהלכים.

איך מוצאים איפה המומנט מקסימלי?

מחפשים את הנקודה שבה מהלך הגזירה חוצה את האפס. בקטע עם עומס שווה q, המרחק מתחילת הקטע הוא הגזירה בתחילת הקטע חלקי q. בדוגמה שלנו: 35 / 10 = 3.5 מ'.

למה מהלך המומנטים הוא פרבולה מתחת לעומס שווה?

כי מהלך הגזירה שם הוא קו משופע, והמומנט הוא השטח מתחת לגזירה. השטח מתחת לקו משופע גדל בצורה ריבועית, ולכן יוצאת פרבולה.

אפשר לשרטט מהלך מומנטים בלי מהלך גזירה?

אפשר, בעזרת חישוב המומנט בכמה חתכים. אבל זה ארוך יותר וקל לטעות. מהלך הגזירה גם נותן לך את המיקום של המומנט המקסימלי, ולכן תמיד כדאי להתחיל ממנו.

מתי יש כוח צירי בקורה?

כשיש עליה כוח אופקי או כוח באלכסון. בקורה עם עומסים אנכיים בלבד, מהלך הכוחות הצירים הוא אפס לכל האורך. בעמודים, לעומת זאת, הכוח הצירי הוא הכוח העיקרי.

מה עושים בזיז?

אותם שלבים בדיוק, רק שהריאקציות כולן בריתום, כולל מומנט ריתום. הכי נוח להתחיל מהקצה החופשי, ששם הגזירה והמומנט הם אפס. בזיז המומנט שלילי והמקסימום שלו בריתום, ולכן הברזל הראשי למעלה. על הסכמות השונות כתבתי במאמר מבוא לסטטיקה.

על הכותב: פז יעקובי הוא מהנדס בניין ומתכנן מבנים. הוא מרצה במכללות להנדסאי בניין משנת 2016, ליווה אלפי סטודנטים בפרויקטי גמר משנת 2015, וכתב את הספר "חישוב סטטי וחוזק חומרים – המדריך המלא".